\chapter{1734年,从门戈利问题到欧拉公式：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$的求解历程}
	
	\section{引言}
	17世纪中叶，意大利博洛尼亚数学家彼得罗·门戈利在研究调和级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$的发散性质时，自然转向考察其平方倒数形式$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$的收敛性问题。门戈利成功证明了该级数收敛，但未能求出其精确和。此问题随后吸引了包括雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli)在内的多位数学家关注，成为当时分析学领域的著名难题。
	
	\section{欧拉的突破性解法}
	1734年，27岁的欧拉通过惊人的洞察力，将有限多项式理论拓展到无穷级数领域，给出了以下经典推导：
	
	\subsection{第一步：正弦函数的无穷乘积展开}
	欧拉从正弦函数的泰勒展开出发：
	\begin{equation}
		\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots
	\end{equation}
	
	将其视为"无限次多项式"，类比于多项式的因式分解，假设可以表示为：
	\begin{equation}
		\sin x = x \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{n^2 \pi^2}\right)
	\end{equation}
	
	\subsection{第二步：比较级数展开}
	将无穷乘积展开后，收集$x^3$项系数：
	\begin{align*}
		\sin x &= x \left[1 - x^2 \left(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 \pi^2}\right) + O(x^4)\right] \\
		&= x - \frac{x^3}{6} + \cdots \quad \text{(泰勒展开)}
	\end{align*}
	
	比较$x^3$项系数得：
	\begin{equation}
		-\frac{1}{6} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 \pi^2}
	\end{equation}
	
	\subsection{第三步：求解级数和}
	由此立即得到：
	\begin{equation}
		\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}
	\end{equation}
	
	\section{严格化与后续发展}
	欧拉的原始推导虽然富有启发性，但在当时缺乏严格的收敛性证明。后续数学家们从多个角度完善了这一结果：
	
	\begin{itemize}
		\item \textbf{傅里叶级数法}：通过计算函数$f(x)=x^2$的傅里叶展开，直接得到$\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}$。
		
		\item \textbf{二重积分法}：利用积分变换：
		\begin{equation}
			\int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1-xy} dx dy = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}
		\end{equation}
		
		\item \textbf{复分析证明}：通过留数定理计算$\oint \frac{\pi \cot \pi z}{z^2} dz$的积分。
	\end{itemize}
	
	\section{结论}
	欧拉对门戈利问题的解决不仅给出了一个具体级数的和，更重要的是开创了将解析函数与无穷乘积联系起来的新方法。这一工作直接影响了后续黎曼$\zeta$函数理论的发展，展示了无穷级数研究在分析学中的核心地位。正如安德烈·韦伊(André Weil)所评价的："欧拉的天才之处在于，他能从形式上看似不严格的推导中，发现最深刻的数学真理。"
	
	\begin{thebibliography}{9}
		\bibitem{mengoli}
		Mengoli, P. (1650). \emph{Novae quadraturae arithmeticae}. Bologna.
		
		\bibitem{euler}
		Euler, L. (1735). "De summis serierum reciprocarum". \emph{Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae} 7: 123-134.
		
		\bibitem{ayoub}
		Ayoub, R. (1974). "Euler and the Zeta Function". \emph{American Mathematical Monthly} 81: 1067-1086.
	\end{thebibliography}
	